|
ریاضی نهم صفحه ۱۲۵ - تمرین ۹
۹- طول مستطیلی از دو برابر عرض آن یک واحد کمتر است. نسبت محیط به مساحت این مستطیل را به صورت یک کسر گویا (عبارت گویا) بنویسید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۵ - تمرین ۹
برای حل این مسئله، ابتدا باید ابعاد مستطیل را به زبان جبر تعریف کنیم و سپس فرمولهای محیط و مساحت را بنویسیم.
**گام ۱: تعریف متغیرها**
فرض میکنیم عرض مستطیل برابر با $x$ باشد. طبق صورت سوال، طول مستطیل از دو برابر عرض آن یک واحد کمتر است، پس:
$$\text{عرض} = x$$
$$\text{طول} = 2x - 1$$
**گام ۲: محاسبه محیط و مساحت**
* **محیط مستطیل ($P$):** مجموع طول و عرض ضرب در دو
$$P = 2 \times (\text{طول} + \text{عرض}) = 2 \times (2x - 1 + x) = 2 \times (3x - 1) = 6x - 2$$
* **مساحت مستطیل ($S$):** حاصلضرب طول در عرض
$$S = \text{عرض} \times \text{طول} = x(2x - 1) = 2x^2 - x$$
**گام ۳: نوشتن نسبت محیط به مساحت**
حالا این دو عبارت را به صورت کسر روی هم قرار میدهیم تا عبارت گویا ساخته شود:
$$\frac{\text{محیط}}{\text{مساحت}} = \frac{6x - 2}{2x^2 - x}$$
**نکته نهایی:** در صورت تمایل میتوانیم از صورت کسر فاکتور بگیریم: $$\frac{2(3x - 1)}{x(2x - 1)}$$ که سادهتر نمیشود.
ریاضی نهم صفحه ۱۲۵ - تمرین ۱۰
۱۰- حاصل عبارتهای زیر را به دست آورید و نتیجه را ساده کنید.
الف) $$\frac{a - a^2}{a^2 - 1} \div \frac{a}{a + 1} - a$$
ب) $$\frac{\frac{1}{x - y} - \frac{2}{x + y}}{\frac{x^2 - 9y^2}{(x - y)^2}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۵ - تمرین ۱۰
در این تمرین با عبارات گویای ترکیبی سر و کار داریم. اولویت انجام محاسبات (پرانتز، ضرب و تقسیم، سپس جمع و تفریق) بسیار مهم است.
**حل بخش الف:**
۱. ابتدا تقسیم را انجام میدهیم. تقسیم به ضرب تبدیل شده و کسر دوم معکوس میشود:
$$\frac{a - a^2}{a^2 - 1} \times \frac{a + 1}{a} - a$$
۲. عبارتها را تجزیه میکنیم:
$$\frac{a(1 - a)}{(a - 1)(a + 1)} \times \frac{a + 1}{a} - a$$
۳. سادهسازی میکنیم: $a$ با $a$ ساده میشود، $(a+1)$ با $(a+1)$ ساده میشود. همچنین چون $(1-a)$ قرینه $(a-1)$ است، حاصل ساده شدن آنها **۱-** است:
$$-1 - a$$
**حاصل نهایی:** $$-1 - a$$ یا $$-(a + 1)$$.
**حل بخش ب:**
این یک کسر مرکب است. ابتدا صورت کسر بزرگ را مخرج مشترک میگیریم:
$$\text{صورت:} \quad \frac{1(x + y) - 2(x - y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{x + y - 2x + 2y}{(x - y)(x + y)} = \frac{3y - x}{(x - y)(x + y)}$$
حالا تقسیم صورت بر مخرج را به صورت ضرب در معکوس مینویسیم و مخرج کسر بزرگ را تجزیه میکنیم ($x^2-9y^2$ مزدوج است):
$$\frac{3y - x}{(x - y)(x + y)} \times \frac{(x - y)^2}{(x - 3y)(x + 3y)}$$
عامل $(x-y)$ از مخرج با توان دوی صورت ساده میشود. همچنین $(3y-x)$ قرینه $(x-3y)$ است و ساده شدنشان حاصل **۱-** میدهد:
**حاصل نهایی:** $$\frac{-(x - y)}{(x + y)(x + 3y)}$$
ریاضی نهم صفحه ۱۲۵ - تمرین ۱۱
۱۱- دو عبارت گویا بنویسید که :
الف) حاصلضرب آنها $$\frac{a - 2}{a + 7}$$ شود.
ب) حاصل جمع آنها $$\frac{a - 2}{a + 7}$$ شود.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۵ - تمرین ۱۱
این تمرین به نوعی مهندسی معکوس است و پاسخهای متنوعی میتواند داشته باشد.
**حل بخش الف (حاصلضرب):**
کافی است دو کسر بنویسیم که وقتی در هم ضرب میشوند، بعد از ساده شدن به عبارت هدف برسند. یک روش ساده این است که مخرج یا صورت را بین دو کسر تقسیم کنیم:
* **مثال:** کسر اول را $$\frac{a - 2}{1}$$ و کسر دوم را $$\frac{1}{a + 7}$$ در نظر بگیرید. حاصلضرب آنها دقیقاً عبارت مورد نظر میشود.
* **مثال دیگر:** $$\frac{a - 2}{a + 1} \times \frac{a + 1}{a + 7}$$. اینجا $a+1$ ها ساده میشوند و نتیجه همان است.
**حل بخش ب (حاصل جمع):**
باید دو کسر پیدا کنیم که با مخرج مشترک $a+7$، جمع صورتهایشان برابر با $a-2$ شود.
* میتوانیم صورت $a-2$ را به دو بخش تقسیم کنیم؛ مثلاً $a$ و $2-$.
* **عبارتها:** $$\frac{a}{a + 7} + \frac{-2}{a + 7}$$
چون مخرجها برابرند، صورتها جمع شده و همان عبارت هدف را میسازند.
ریاضی نهم صفحه ۱۲۵ - تمرین ۱۲
۱۲- عرض مستطیل مقابل را بر حسب $x$ به دست آورید. مساحت مستطیل $x^2 - 9$ است.
(تصویر مستطیلی که طول آن با عبارت $$\frac{x^2 - x - 12}{x - 4}$$ مشخص شده و مساحت آن $A = x^2 - 9$ است)
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۵ - تمرین ۱۲
میدانیم در هر مستطیل، **مساحت = طول $\times$ عرض**. پس برای پیدا کردن عرض، باید مساحت را بر طول تقسیم کنیم.
**گام ۱: ساده کردن طول**
قبل از هر کاری، عبارتی که برای طول داده شده را ساده میکنیم. صورت کسر یک اتحاد جمله مشترک است:
$$\text{طول} = \frac{x^2 - x - 12}{x - 4} = \frac{(x - 4)(x + 3)}{x - 4} = x + 3$$
پس طول مستطیل در واقع بسیار ساده و برابر با **$x+3$** است.
**گام ۲: محاسبه عرض**
مساحت داده شده $x^2 - 9$ است. حالا مساحت را بر طول تقسیم میکنیم:
$$\text{عرض} = \frac{\text{مساحت}}{\text{طول}} = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$$
صورت کسر یک **اتحاد مزدوج** است و تجزیه میشود:
$$\text{عرض} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$$
با ساده کردن عامل $(x+3)$ از صورت و مخرج، مقدار عرض به دست میآید:
$$\text{عرض} = x - 3$$
**پاسخ نهایی:** عرض مستطیل برابر با **$x - 3$** است.
